Hello friend !! आज हम पढ़ेंगे त्रिकोणमिति का सबसे ज्यादा important topic जिसका नाम है, "पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras theorem)" । पाइथागोरस प्रमेय, त्रिकोणमिति का बहुत ही ज्यादा महत्वपूर्ण topic है , इस topic को बिना पढ़े हम त्रिकोणमिति को अच्छे से समझ ही नहीं सकते। एक तरीके से हम कह सकते है कि पाइथागोरस प्रमेय, त्रिकोणमिति का Base (आधार) है। इसलिए अगर आपको त्रिकोणमिति को अच्छे से समझना है तो पहले आपको इस प्रमेय को अच्छे से पढ़ना पढ़ेगा।
पाइथागोरस प्रमेय के आज के इस महत्वपूर्ण topic में हम जानेंगे पाइथागोरस प्रमेय क्या है ?, इसकी परिभाषा क्या है?, पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र (formula) क्या है? इस सूत्र का सत्यापन कैसे करते है? आदि और भी points है जिनके बारे में आज हम एकदम detail में पढ़ने जा रहे हैं।
आज के topic में हम जो कुछ भी पढ़ेंगे उसको हमने नीचे table of contents में point wise दिया है। आप किसी भी point पर click करके direct उस point पर jump कर सकते है, तो चलिए बिना किसी देरी के आज topic Start करते है -
Table of Contents |
पाइथागोरस प्रमेय क्या है? | What is Pythagoras theorem?
पाइथागोरस प्रमेय, समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बीच एक सम्बन्ध (relation) को बताता है। यह प्रमेय हमें बताता है कि, "समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा और अन्य दोनों भुजाओं की बीच क्या सम्बन्ध (relation) है?" अर्थात् पाइथागोरस प्रमेय हमें यह बताता है कि "समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा का वर्ग, अन्य दोनों भुजाओं के वर्गो के योगफल के बराबर होता है।"
अब आपके मन में यह प्रश्न उठ रहा होगा कि, समकोण त्रिभुज क्या होता है? तो अगर आपको नही मालूम है तो हम आपको बता दे कि समकोण त्रिभुज ऐसा त्रिभुज होता है, जिसका कम से कम एक कोण 90° का होता है। समकोण त्रिभुज में कोण 90° के सामने वाली भुजा सबसे बड़ी भुजा होती है। जिसे हम कर्ण (hypotenuse) कहते हैं और अन्य दोनों भुजाओं को लम्ब (perpendicular) और आधार (base) कहा जाता है।
नीचे दिए गए समकोण त्रिभूज ABC में ㄥB = 90°, कर्ण AC, लम्ब BC और आधार AB को figure - 1 में देखिए -
 |
| Figure - 1 |
पाइथागोरस प्रमेय की परिभाषा क्या है? |Pythagoras theorem definition
जैसा कि पाइथागोरस प्रमेय क्या हैं? ये आप ऊपर समझ चुके है। आइए अब इसकी परिभाषा समझ लेते है।
पाइथागोरस प्रमेय की परिभाषा - इस प्रमेय के अनुसार, "किसी समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा कर्ण (hypotenuse) का वर्ग (square), अन्य दोनों भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है।"
जैसे -: ऊपर दिए गए figure-1 में समकोण त्रिभुज ΔABC में यदि सबसे बड़ी भुजा कर्ण AC = c तथा अन्य दोनों भुजाओं AB = a और BC = b हो
तो, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार -
पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र (formula) क्या है? | Pythagoras theorem formula
माना समकोण ΔABC में ㄥB = 90° है। सबसे बड़ी भुजा कर्ण AC = c, आधार BC = b और लम्ब AB = a हो तो पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र (formula) हम इस प्रकार से लिख सकते हैं -
कर्ण² = लम्ब² + आधार²
AC² = AB² + BC²
c² = a² + b²
पाइथागोरस प्रमेय का सत्यापन कैसे करें? । Pythagoras theorem proof :
Pythagoras theorem का सत्यापन (Proof) हम निम्नलिखित तरीको से कर सकते हैं :-
प्रमेय : समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा कर्ण का वर्ग अन्य दोनों भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है।
दिया है: एक समकोण त्रिभुज ΔABC, जिसका ㄥB समकोण है।
सिद्ध करना है: AC² = AB² + BC²
रचना : बिन्दु B से भुजा AC पर लम्ब BC खीचिए।
अर्थात् BC 丄 AC (Figure में देखिए)
Figure.......
Proof (सिद्ध) : ΔADB और ΔABC से,
ㄥA = ㄥA (ΔADB और ΔABC में common कोण है)
ㄥADB = ㄥABC (दोनों कोण 90° के है)
अब हम जानते हैं कि यदि दो त्रिभुज के दो कोण आपस में बराबर हो तो ऐसे त्रिभुजों को समरूप त्रिभूज कहते हैं। इसे "कोण - कोण समरूपता" कहा जाता है।
∴ ΔADB 〜 ΔABC (समरूप त्रिभूज है।)
जब दो त्रिभुज आपस में समरूप होते हैं तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है।
∴ ΔADB और ΔABC से,
⇒ AD/AB = AB/AC
⇒ AB² = AD×AC ................... (i)
अब ΔBDC और ΔABC से,
ㄥC = ㄥC (ΔBDC और ΔABC में common कोण है)
ㄥBDC = ㄥABC (दोनों कोण 90° के है)
अतः ΔBDC और ΔABC , कोण - कोण समरूपता से समरूप त्रिभूज है।
अर्थात् ΔBDC 〜 ΔABC
⇒ DC/BC = BC/AC
⇒ BC² = DC×AC ................... (ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर -
AB² + BC² = AD×AC + DC×AC
= AC(AD+DC)
= AC×AC {∵ figure से, AD+DC = AC}
= AC²
AB² + BC² = AC² Proof
पाइथागोरस प्रमेय के 20 important Questions और उनके Solutions :
Question-1. एक त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी है। क्या यह त्रिभुज समकोण त्रिभुज है?
Solution - हम जानते हैं कि अगर किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएं पाइथागोरस प्रमेय का पालन करती हैं तो वह त्रिभुज, समकोण त्रिभुज होगा।
इस Question में हम देख सकते हैं कि सबसे बड़ी भुजा का वर्ग = 5² = 25 सेमी।
अन्य दोनों भुजाओं के वर्गो 3² = 9 और 4² = 16 के योगफल 9+16 =25 के बराबर है।
∴ 5² = 3² + 4²
अतः दिया हुआ त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
Question-2. एक त्रिभुज की भुजाएँ 7 सेमी, 9 सेमी और 15 सेमी है। क्या यह त्रिभुज समकोण त्रिभुज है?
Solution - हम जानते हैं कि अगर किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएं पाइथागोरस प्रमेय का पालन करती हैं तो वह त्रिभुज समकोण त्रिभुज होगा।
इस Question में हम देख सकते हैं कि सबसे बड़ी भुजा का वर्ग = 15² = 225 सेमी।
अन्य दोनों भुजाओं के वर्गो 7² = 49 और 9² = 81 के योगफल 49+81 = 130 के बराबर नहीं है।
∴ 15² ≠ 7² + 9²
अतः दिया हुआ त्रिभुज, समकोण त्रिभुज नहीं है।
Question-3. एक समकोण त्रिभुज का आधार 6 cm और लम्ब 8 cm है, तो इसका कर्ण ज्ञात कीजिए।
Solution - दिया है : समकोण त्रिभुज का आधार = 6 cm और लम्ब = 8 cm
तब पाइथागोरस प्रमेय से ,
कर्ण² = लम्ब² + आधार²
= (8)² + (6)²
= 64 + 36
= 100
कर्ण = √100
= 10
अतः समकोण त्रिभुज का कर्ण = 10 cm Ans.
Question-4. एक समकोण त्रिभुज ABC में ∠B समकोण है, जबकि AC = 13 cm और BC = 5 cm है तो AB की लंबाई क्या होगी ?
Solution - दिया है : समकोण ΔABC में ∠B = 90, AC = 13 cm और BC = 5 cm।
तब पाइथागोरस प्रमेय से ,
कर्ण² = लम्ब² + आधार²
AC² = AB² + BC²
(13)² = AB² + (5)²
169 = AB² + 25
AB² = 169 - 25
AB² = 144
AB = √144
AB = 12
अतः AB की लंबाई = 12 cm Ans.
Question - 5. समकोण त्रिभुज PQR में ∠Q = 90, PQ = 7, और PR = 25 है। भुजा QR का मान बताइए।
Solution - दिया है : समकोण ΔPQR में ∠Q = 90, PQ = 7 और PR = 25 ।
तब पाइथागोरस प्रमेय से ,
कर्ण² = लम्ब² + आधार²
PR² = PQ² + QR²
(25)² = (7)² + QR²
625 = 49 + QR²
QR² = 625 - 49
QR² = 576
QR = √576
QR = 24
अतः QR का मान = 24 Ans.
Question-6. रोहन अपने घर से 9 km पूरब की ओर चलता है और उसके बाद 12 km उत्तर दिशा की चलता है। रोहन और उसके घर के बीच की न्यूनतम दूरी कितनी है?
Solution - माना रोहन का घर point A पर है। वह अपने घर A से पूरब की ओर 9 km चलकर Point B तक पहुंचता है और उसके बाद वह Point B से 12 km चलकर point C तक पहुंच जाता है। (Figure में देखिए)
रोहन और उसके घर के बीच की न्यूनतम दूरी AC होगी।
माना AC = x km
Figure से, AB = 9 km और BC = 12 km।
तब समकोण ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,
AC² = AB² + BC²
= 9² + 12²
= 81 + 144
= 225
AC = √225
= 15 km
अतः रोहन और उसके घर के बीच की न्यूनतम दूरी 15 km होगी।
Question-7. एक समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा 13 cm है। अन्य दोनों भुजाओं की लम्बाई x cm और 12 cm है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Solution - सबसे बड़ी भुजा (कर्ण) = 13 cm।
माना लम्ब = x cm और आधार = 12 cm।
तब पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
कर्ण² = लम्ब² + आधार²
13² = x² + 12²
169 = x² + 144
x² + 144 = 169
x² = 169 - 144
x² = 25
x = √28
x = 5 cm Ans.
Question-8. एक आयत की लंबाई 6 cm और चौड़ाई 8 cm है तो आयत के विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Solution - माना आयत की लंबाई AB = 6 cm और चौड़ाई BC = 8 cm ।
आयत का विकर्ण AC = ??
समकोण ∆ABC में, पाइथागोरस प्रमेय से
AC² = AB² + BC²
= 6² + 8²
= 36 + 64
= 100
AC = √100
= 10
अतः आयत के विकर्ण की लंबाई 10 cm है । Ans.
Question - 9. एक वर्ग की भुजा 5 cm है, इसके विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution - नीचे दिए गए वर्ग ABCD को देखिए जिसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई 5 cm है।
माना विकर्ण AC = x cm
तब, पाइथागोरस प्रमेय से
AC² = AB² + BC²
x² = (5)² + (5)²
= 25 + 25
= 50
x = √50
= 7.07
इस प्रकार से, वर्ग के विकर्ण की लम्बाई 7.07 cm होगी।
Question - 10. समकोण ΔABC में ∠B समकोण है। भुजाएं AB = x+1, BC = x+2 और AC = x+3 हैं तो x का मान और तीनों भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution -: दिया है: समकोण ΔABC, जिसमें ∠B = 90°, AB = x+1, BC = x+2 और AC = x+3 है।
∠B = 90° के सामने वाली भुजा, सबसे बड़ी भुजा अर्थात् AC कर्ण होगी।
∴ पाइथागोरस प्रमेय से ,
AC² = AB² + BC²
(x+3)² = (x+1)²+(x+2)²
x²+3²+2×x×3 = (x²+1²+2×x×1)+(x²+2²+2×x×2)
x²+9+6x = (x²+1+2x)+(x²+4+4x)
x²+9+6x = 2x²+5+6x
x²+9 = 2x²+5
2x² - x² = 9 - 5
x² = 4
x = √4
x = 2
अतः त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लम्बाई
AB = x+1 = 2+1 = 3
BC= x+2 = 2+2 = 4
AC = x+3 = 2+3 = 5
Question - 11. एक सीढ़ी किसी दीवार पर इस प्रकार लगी हुई है कि इसका ऊपरी सिरा जमीन से 7 मीटर ऊंचाई तक पहुंचता है तथा इसका निचला सिरा दीवार से 4 मीटर दुरी पर है। सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Solution - माना AB दीवार और AC सीढ़ी है। सीढ़ी दीवार पर बिन्दु A तक और जमीन पर बिंदु C तक पहुंचता है।
तब, AB = 7 मीटर और BC = 4 मीटर
पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
= (7)² + (4)²
= 49 + 16
= 75
AC = √75
= 8.66
इस प्रकार से, सीढ़ी की लंबाई 8.66 मीटर है।
Question-12. ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा AB = AC = 13 cm और BC = 10 cm है। त्रिभुज की ऊंचाई ज्ञात कीजिए। (Figure)
Solution - दिया है कि समद्विबाहु ΔABC, जिसमें AB = AC = 13 cm और BC = 10 cm ।
Point A से भुजा BC पर लम्ब AD खींचा। लम्ब AD की लंबाई ही त्रिभुज की ऊंचाई होगी
माना ΔABC की ऊंचाई AD = h cm
लम्ब AD, भुजा BC को दो बराबर भाग में बाटती है।
∵ AD 丄 BC
∴ BD = DC = 5cm
अब समकोण ΔADC में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,
AC² = AD² + DC²
(13)² = AD² + 5²
169 = h² + 25
h² = 169 - 25
= 144
h = √144
= 12 cm
अतः समद्विबाहु ΔABC की ऊंचाई 12 cm होगी।
Question-13. एक समकोण त्रिभुज का परिमाप 48 cm है। इसकी एक भुजा की लंबाई 16 cm है तो इसके कर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution - माना दिए हुए समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई A cm, B cm और C cm है। जहां कर्ण = C है।
दिया है कि A+B+C = 48 cm और माना B = 16 cm ।
तो समकोण त्रिभुज का परिमाप = 48
अर्थात् A+B+C = 48
⇒ A+16+C = 48
⇒ A+C = 48 - 16
⇒ A+C = 32
अतः कर्ण C = 32 - A
अब पाइथागोरस प्रमेय से,
C² = A² + B²
⇒ (32 - A)² = A²+(16)²
⇒ (32)²+A² - 2×32×A = A²+256
⇒ 1024+A² - 64A = A²+256
⇒ 1024 - 256 = 64A
⇒ A = 768/64
⇒ A = 12 cm
अतः कर्ण C = 32 - 12
= 20 cm Ans.
Question-14. एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएं बराबर है। यदि कर्ण 5√2 हो तो बराबर भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution - माना समकोण त्रिभुज में बराबर भुजाओं की लम्बाई = a cm है।
तब पाइथागोरस प्रमेय से,
a² + a² = (5√2)²
2a² = 50
a² = 25
a = √25
a = 5
अतः बराबर भुजाओं की लम्बाई 5 cm होगी।
Question - 15. यदि एक त्रिभुज की सबसे बड़ी x²+y² भुजा हो तो सिद्ध कीजिए कि x²-y², 2xy और x²+y² एक समकोण त्रिभुज होगा।
Solution -: यदि x²-y², 2xy और x²+y² समकोण त्रिभुज की भुजाएं होंगे तो ये पाइथागोरस प्रमेय को follow करेंगे ।
दिया है कि x²+y², त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा है।
⇒ (x²+y²)² = x⁴+y⁴+2x²y²
और (2xy)²+(x²-y²)² = 4x²y²+x⁴+y⁴-2x²y²
= x⁴+y⁴+2x²y²
हम देख सकते है कि सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दोनों भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर है।
अतः यह त्रिभुज समकोण त्रिभुज होगा। सिद्ध हुआ
Question - 16. दिए गए वृत्त के जीवा AB की लंबाई ज्ञात कीजिए
Solution -$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
Question - 17. PT वृत्त की स्पर्श रेखा है, जिसका केन्द्र O है और T वृत्त पर एक बिंदु है। यदि PT = 12 cm और PO = 13 cm है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Solution - इस question का solution नीचे दिए गए video में देखिए।
Question-18. उस आयत की चौड़ाई ज्ञात कीजिए, जिसकी लम्बाई 20 cm और विकर्ण की लम्बाई 29 cm है।
Solution - दिया है कि आयत PQRS की लंबाई PQ = 20 cm और विकर्ण PR = 29 cm (Figure से)
Figure........
माना आयत PQRS की चौड़ाई QR = b cm
हम जानते है कि आयत के प्रत्येक कोण 90° के होते है।
∴ ∠Q = 90°
अतः ΔPQR एक समकोण त्रिभुज होगा।
समकोण ΔPQR में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,
PR² = PQ² + QR²
(29)² = (20)² + b²
841 = 400 + b²
b² = 841 - 400
= 441
b = √441
= 21
अतः आयत की चौड़ाई 21 cm है।
Question - 19. आंधी आने से एक पेड़ जमीन से 20 मीटर की ऊंचाई पर टूट कर जमीन पर लटक जाता है, टूटे हुए भाग का ऊपरी हिस्सा पेड़ के आधार से 21 मीटर की दूरी पर जमीन को छूता है। टूटने से पहले पेड़ की ऊंचाई क्या थी ?
Solution - माना टूटने से पहले पेड़ की ऊंचाई AB = h मीटर ।
माना पेड़ बिंदु C से टूट जाता है और टूटे हुए हिस्से AC का ऊपरी हिस्सा A जमीन को छूता है।
तब BC = 20 मीटर और AB = 21 मीटर।
तब समकोण ∆ABC में, पाइथागोरस प्रमेय से ,
AC² = AB² + BC²
= (21)² + (20)²
= 441+400
= 841
AC = √841
= 29 मीटर
अतः टूटने से पहले पेड़ की ऊंचाई AB = AC+BC
= 29+20
= 49
अतः टूटने से पहले पेड़ की ऊंचाई 49 मीटर थी।
Question - 20. एक वर्ग का विकर्ण 14 cm है, तो वर्ग का क्षेत्रफल क्या होगा ?
Solution - दिया है: वर्ग का विकर्ण = 14 cm
नीचे दिए Figure में देखिए :-
मांना वर्ग ABCD की भुजा की लम्बाई = x cm
तब, समकोण ΔABC में, AB = BC = x cm
समकोण ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,
AB² + BC² = AC²
x² + x² = (14)²
2x² = 196
x² = 196/2
x² = 98
x = √98
x = √(2×7×7)
x = 7√2तब वर्ग का क्षेत्रफल = (वर्ग की भुजा)²
= x²
= (7√2)²
= 49×2 cm²
= 98 cm²
अतः वर्ग का क्षेत्रफल 98 cm² होगा। Ans.
पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित अक्सर पूछे जाने वाले Questions (FAQs) :
नीचे हम कुछ ऐसे प्रश्न और उनके उत्तर दे रहे, जो इस topic पर अक्सर पूछे जाते है जैसे :-
Question-1. पाइथागोरस प्रमेय क्या है?
Answer - पाइथागोरस प्रमेय, त्रिकोणमिति का बहुत महत्वपूर्ण प्रमेय है । इस प्रमेय के अनुसार, किसी समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा (कर्ण) का वर्ग, अन्य दोनों भुजाओं के वर्गो के योगफल के बराबर होता है।
Question-2. पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र (formula) क्या है?
Answer - पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र -
कर्ण² = लम्ब² + आधार²
Question-3. पाइथागोरस प्रमेय के आविष्कारक कौन थे?
Answer - पाइथागोरस प्रमेय के आविष्कारक यूनान के गणितज्ञ पाइथागोरस थे। इन्हीं के नाम पर इस प्रमेय का नाम पाइथागोरस प्रमेय पड़ा।
Question-4. पाइथागोरस प्रमेय से हम क्या - क्या ज्ञात कर सकते है?
Answer - पाइथागोरस प्रमेय से हम समकोण त्रिभुज के कर्ण, लम्ब और आधार तीनों भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कर सकते है। इसके साथ - साथ हम वर्ग (Square) और आयत (Rectangle) के विकर्ण की लम्बाई भी ज्ञात कर सकते हैं।
Question-5. पाइथागोरस प्रमेय से समकोण त्रिभुज का कर्ण (hypotenuse) कैसे ज्ञात कर सकते है?
Answer - यदि समकोण त्रिभुज में लम्ब और आधार की लम्बाई ज्ञात हो तो हम पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण (hypotenuse) की लम्बाई ज्ञात कर सकते है।
जैसे - एक समकोण त्रिभुज में लम्ब = 3cm और आधार = 4cm हो तो कर्ण की लम्बाई ज्ञात करिए।
पाइथागोरस प्रमेय से,
= 3²+4²
= 9+16
= 25
कर्ण = √25
= 5
अतः कर्ण की लम्बाई 5cm होगी।
Question-6. पाइथागोरस प्रमेय से समकोण त्रिभुज का आधार (base) कैसे ज्ञात कर सकते है?
Answer - यदि समकोण त्रिभुज में लम्ब और कर्ण ज्ञात हो तो हम निम्नलिखित तरीके से आधार (base) ज्ञात कर सकते है:-
पाइथागोरस प्रमेय से,
कर्ण² = लम्ब² + आधार²
⇒ आधार² = कर्ण² - लम्ब²
⇒ आधार = √(कर्ण² - लम्ब²)
Question-7. पाइथागोरस प्रमेय से समकोण त्रिभुज का लम्ब (perpendicular) कैसे ज्ञात कर सकते है?
Answer - यदि समकोण त्रिभुज में आधार और कर्ण ज्ञात हो तो हम निम्नलिखित तरीके से लम्ब (perpendicular) ज्ञात कर सकते है:-
पाइथागोरस प्रमेय से,
कर्ण² = लम्ब² + आधार²
⇒ लम्ब² = कर्ण² - आधार²
⇒ लम्ब = √(कर्ण² - आधार²)
Question-8. हमारे जीवन में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग क्या है?
Answer - पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग निम्नलिखित जगहों पर किया जाता है :-
- बड़े - बड़े बिल्डिंग, इमारत, पहाड़ों आदि की ऊंचाई ज्ञात करने में।
- नदियों, सड़को आदि की चौड़ाई ज्ञात करने में।
- पहाड़ों की ढलान ज्ञात करने में।
- किसी ऊंचाई से नीची जगह पर स्थित दो बिंदुओं की दुरी ज्ञात करने में।
- दीवार से सटे हुए सीढ़ी की लम्बाई ज्ञात करने में।
- मीनार की ऊंचाई ज्ञात करने में।
- किसी की पेड़, इमारत या ऊंचाई वाले वस्तु की परछाई की लम्बाई ज्ञात करने में।
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